Fraktale - czym są, gdzie mają swoje zastosowanie i gdzie możemy je znaleźć?

● Fraktale, czyli samopodobne obiekty, zostały po raz pierwszy dokładnie opisane w latach 70. ubiegłego wieku.

● Przykładami fraktali w przyrodzie są m.in. drzewa, płatki śniegu i chmury.

● Fraktale znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak: matematyka, fizyka, sztuka, medycyna, informatyka, architektura.

O fraktalach zrobiło się głośno w latach 70. XX wieku, kiedy to francuski matematyk Benoît Mandelbrot, odkrył zbiór nazwany na cześć naukowca zbiorem Mandelbrota i wymyślił słowo fraktal. Okazało się jednak, że jego zbiór nie był pierwszym przykładem struktury fraktalnej. Wcześniejsze były np.:

- zbiór Cantora (1883), - krzywa Peano (1890), - trójkąt Sierpińskiego (1915).

Jednak to Mandelbrot zajął się na poważnie badaniami nad fraktalami i uważany jest za ojca geometrii fraktalnej. Obecnie fraktale znajdują zastosowanie nie tylko w matematyce, ale też w fizyce, sztuce, architekturze, muzyce, a nawet technologii, meteorologii, informatyce i medycynie. Istnieją też naturalne fraktale, znajdziemy je w przyrodzie.

Fraktal, w uproszczeniu, to obiekt samopodobny, czyli jeśli spojrzy się na jego fragment w przybliżeniu, okaże się, że wygląda podobnie jak całość obiektu. Przykładem fraktala może być drzewo. Ma kilka dużych gałęzi, średniej wielkości gałęzie i bardzo wiele małych gałązek. Drzewo jest więc samopodobne: mniejsze gałęzie są podobne do tych większych.

Można też powiedzieć, że fraktal jest obiektem nieskończenie złożonym. W dowolnie dużym powiększeniu będzie ukazywać coraz bardziej złożone detale.

Przyglądając się naturze, można zauważyć, że nie mamy do czynienia tylko z okręgami, kwadratami czy prostokątami. Otaczające nas obiekty są nieregularne: "Istotą fraktalności jest poszarpanie. Wiele obiektów, które np. mają poszarpane brzegi, ma strukturę prostego fraktala" - mówił w rozmowie z PAP dr hab. Paweł Oświęcimka, profesor z Instytutu Fizyki Jądrowej PAN w Krakowie.

Przykładami fraktali w przyrodzie są m.in.:

drzewa, chmury, płatki śniegu, mróz na szybach, brokuły, kalafior, fiordy, linia brzegowa, naczynia krwionośne, błyskawica.

ZOBACZ TEŻ: Skąd na szybach takie wzory?

Fraktale występują też w sztuce, np. w: grafice komputerowej, muzyce, obrazach. Świetnym przykładem zastosowania fraktali w sztuce są obrazy Jacksona Pollocka. Na jego płótnach wzór składa się z kilku dużych zawijasów, kilku średniej wielkości zawijasów i bardzo wielu małych zawijasów. Są one do siebie podobne: małe zawijasy są mniejszymi kopiami tych większych. Opowiadał o tym również dr Oświęcimka: "Jego obrazy zbadano pod kątem samopodobieństwa. Okazało się, że fragment takiego dzieła przypomina mniej więcej całość. Co więcej, okazało się, że im starszy był Jackson Pollock, tym fraktale na jego obrazach były bardziej gęste - bardziej wypełniały płótno".

Dobrym przykładem występowania fraktali w architekturze jest bazylika Sagrada Familia w Barcelonie. Antonio Gaudi w swoim projekcie uwzględnił struktury fraktalne na podstawie obserwacji roślin. Zauważył wzory i fraktale w tym, jak liść łączy się z łodygą i ile światła dostaje. Wykorzystując geometrię fraktalną, zmaksymalizował ilość światła wpadającego do tego monumentalnego budynku.

Do tworzenia fraktali matematycznych wykorzystuje się geometrię fraktalną (IFS). Dzięki funkcjom, algorytmom i wzorom powstają fraktale, zbiory o względnie prostej definicji matematycznej i naturalnym (poszarpanym lub kłębiastym) wyglądzie. Przykładami takich matematycznych fraktali są m.in. funkcja Weierstrassa, krzywa Kocha, krzywa Peana i krzywa Lévy’ego, smok Heighwaya, kostka Mengera, paproć Barnsleya, zbiór Julii, kostka Cantora.

Z kolei trójkąt Sierpińskiego, stworzony przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915 roku, jest przykładem jednego z najprostszych fraktali matematycznych. W trójkącie Sierpińskiego każdy jego mały fragment jest dokładną mniejszą kopią całego trójkąta.

Źródła: PAP, zpe.gov.pl, beta.nsf.gov, ncbj.gov.pl, nsf.gov www.nsf.gov/pubs/2005/nsf05057/nmbs/chap5.pdf